Математика

СБОРНИК ЛУЧШИХ РАБОТ

В НОМИНАЦИИ «МАТЕМАТИКА» ВСЕРОССИЙСКИХ КОНКУРСОВ ПРОГРАММЫ«ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНО-ТВОРЧЕСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ РОССИИ»

Математические основы русского градостроительства на примере Великого Новгорода

А. Маликов

МАОУ «Гимназия «Квант», г. Великий Новгород

В исследовании представлены особенности русского градостроительства и проанализирована взаимосвязь его с математикой. Рассмотрено практическое применение геометрических законов и закономерностей в зодчестве, при проектировании и постройке сооружений в Древней Руси.

В
ведение

Само слово «город» в древнерусском языке означало укрепленное поселение, в отличие от неукрепленной деревни. Укрепленных поселений и длинных оборонительных стен было так много, что скандинавы называли Русь Гардарики, что можно перевести как «страна городов» или «страна оград».
Из истории развития математики древней Руси намизвестны старинные русские меры, обозначения чисел, занимательные задачи, денежная система. Но ещё многие аспекты периода ранее X-XIв. остались вне поля зрения современных исследователей- математиков. Среди них и взаимосвязь математики с русским градостроительством. Поэтому, в виду отсутствия специальных исследований по этой проблеме, особую актуальность и новизну приобретает попытка выявить математические основы русского градостроительства на примере родного города.
Тема нашего исследования – это лишь малая часть исследований о древних городах Руси. Не претендуя на роль первооткрывателей, мы поставили перед собой цель исследования: изучить особенности русского градостроительства и проанализировать взаимосвязь его с математикой; выявить характер использования арифметических и геометрических знаний при закладке и строительстве городов на Руси (на примере Великого Новгорода).
Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:
1. Определить значения историко-архитектурных терминов. 2. Выявить существование законодательных актов градостроительства вообще и на Руси в частности.
3. Проанализировать объёмы строительства в Новгороде в хронологическом порядке.
4. Изучить особенности конструкций построек рассматриваемого периода, выявить геометрические формы, определить общие тенденции в архитектуре Новгорода. 5. Рассмотреть практическое применение геометрических законов и закономерностей в зодчестве, при проектировании и постройке сооружений в Древней Руси.
6. Сравнить характеристики башен новгородского Кремля для определения наличия «золотого сечения», церквей и зданий для выявления использования при строительстве симметрии.
7. Изучить планы древнего Новгорода для определения закономерности распределения построек внутри Кремля и вне его.
Объектом исследования является древний Новгород X – XVII вв. Предметом исследования служат памятники деревянного и каменного зодчества (дома, башни, монастыри, церкви, Кремль). Научно-практическая значимость исследования состоит в том, что отдельные положения могут быть положены в основу новых исследований как по взаимодействию и взаимопроникновению математических наук в историю дальнейшего строительства города, так и по его архитектурным особенностям.
Границы применимости: материалы и выводы будут полезны студентам и школьникам при написании иных трудов по истории математики, истории градостроительства, оборонительного зодчества, архитектуре и краеведению. Данные исследования могут быть использованы педагогами города и области в преподавании по краеведению и математике, как на уроках, так и во внеурочной деятельности.

Результаты
Без математических основ градостроители не могли бы создать сложную пространственную и планировочную художественную систему русских городов, связанную пропорциональными закономерностями в единое целое. Это обусловливалось закладкой города с соблюдением в нем модуля, то есть определенной заданной величины. Все размеры в городе (план зданий, их высота, размеры между постройками) строятся кратными этой величине. Особенностью этой системы является сознательный отказ градостроителей от геометризма в трассировке улиц, переулков, тупиков, форме площадей. При этом они руководствовались эстетическими и функциональными принципами организации города. Древний Новгород славился своей математической культурой, которая проникала и в градостроительную культуру. Подтверждением тому служит композиционное моделирование городского пространства как формы через математический или геометрический символ-знак, в результате чего происходит наполнение данной планировочной конструкции большей уверенностью, максимальной определенностью и энергетикой.
Из общих письменных источников, содержащих сведения о математических знаниях, выделяется по своему значению памятник древнерусского права «Русская Правда». Отдельные сведения о математических познаниях в Киевской Руси можно почерпнуть из древнерусских памятников духовного содержания: «Книги святых тайн Еноха», «Христианской топографии», «Щестодневов», «Толковой палеи». Уже тогда были «числолюбцы», интересовавшиеся математикой. Среди них монах Кирик Новгородец. Его сочинение «Учение им же ведати человеку числа всех лет» (1134 ;г) посвящено арифметически- хронологическим расчётам. Оно наиболее древнее.
В XVI–XVII веках в России начинает появляться и распространяться рукописная математическая литература (этого требуют межевание и измерение земель, система податного обложения, градостроительство и военное дело, развивающиеся торговые отношения внутри страны и торговля с другими государствами). Рукописи XVI–XVII веков сыграли большую роль в распространении математических и практических знаний. Они явились той основой, на которой создавалась учебная литература XVIII века. Новгородские зодчие владели знаниями, приобретенными путем долголетнего ученичества и самостоятельного опыта, а также при помощи «книжного учения». Ими активно применялись в архитектурной и строительной практике такие понятия прикладной математики, как масштаб, единицы измерения, приближенные вычисления. Вычерчивание плана здания на строительной площадке было связано с рядом известных операций построения геометрических форм и установления абсолютных размеров. Методы установления стабильных соотношений между величинами постройки были связаны и с системой измерения.
В витрине Новгородского музея можно видеть древнюю мерную трость зодчего церкви Параскевы Пятницы (начало XIII века). На ее гранях три пропорциональных шкалы: маховая, тмутороканская и косая новгородская сажени. Это пропорции (v5 ? 1) к 1 и 1 к v2. Рядом десяток деревянных обломков от других тростей. И тоже с зарубками. А в запасниках хранится еще около трех десятков обломков мерных тростей. Новгородский набор содержит шесть из девяти саженей. На одной из тростей обнаружилась та самая «темная» сажень, без которой не удается достроить третий (малый) саженный квадрат. При этом в паре с саженью без чети, которая в большом квад- рате занимает то же место, что и «темная» в малом. КсВ – косая великая сажень – 2,489 м, СБ – сажень большая (высота поднятой вверх руки при росте человека 1,7084 м) – 2,161 м, КН – косая новгородская – 2,013 м, СЧ – сажень без чети – 1,967м, МХ – маховая, она же мерная (размах рук) – 1,76 м, РС – ростовая (рост человека) – 1,708м, ТС – темная – 1,592 м, ПЯ – простая (между большими пальцами раскинутых в стороны рук) – 1,528 м, ТК – тмутороканская, она же малая (расстояние от плечевого сустава до земли) – 1,424 м. В основе древнерусских мер лежит иррациональное отношение стороны квадрата к его диагонали. Меры составляют ряд, образуемый системой вписанных квадратов. Пользуясь двумя взаимосвязанными размерами: простой (152 см) и косой (216 см) саженью, малым (38 см) и большим (54 см) локтем, зодчий мог легко получать размеры, относящиеся друг к другу, как сторона к диагонали квадрата. Единственным источником для определения уровня математических знаний древних зодчих могут служить лишь величественные здания или их фрагменты, сохранившиеся до нашего времени. Следует полагать, что основой архитектурного творчества древнерусских зодчих была математика, в частности геометрия. Поясним на примере свойств поверхностей. Свойство поверхностей, состоящее в том, что они могут быть образованы прямыми, называется линейчатым, а сами поверхности также носят название линейчатых. Не являясь плоскими, они могут быть, в то же время, построены с помощью прямых линий. Самые простые неплоские поверхности – цилиндрическая и коническая – их можно построить с помощью прямых.
В первом случае, если речь идет о прямом круговом цилиндре, то прямая должна перемещаться параллельно в пространстве и проходить через все точки окружности, лежащей в плоскости, перпендикулярной этой прямой. Во втором случае прямая должна также проходить через все точки окружности и через одну точку в пространстве, не лежащей в плоскости окружности. Эти геометрические фигуры были интересны древним зодчим и интересуют современных архитекторов, так как они обладают одним очень полезным с практической точки зрения свойством. Чтобы придать материалу нужную форму, изготавливали опалубку (форму), которую делали из прямых досок. А в них нужды не было, поэтому-то так важно, чтобы желаемую поверхность можно было образовать с помощью прямых линий. Древние очень хорошо понимали этот эффект восприятия пространства-формы и использовали его при строительстве различных сооружений: колонн, шатров, башен.
Анализируя все сохранившиеся башни, мы заметили, что у древних зодчих есть излюбленные детали, которые являются основными составляющими многих сооружений нашего города. Они имеют обычно определенную геометрическую форму. Например, колонны в храмах это чаще цилиндры или параллелепипеды, купола – полусфера или просто часть сферы, ограниченная плоскостью, шпили – либо пирамиды, либо конусы.
Заметим, что зодчие Древней Руси часто использовали не только для башен, но и для куполов церквей и колоколен так называемые шатровые покрытия. Это покрытия в виде четырехгранной или многогранной пирамиды. Ещё одной излюбленной формой древнерусского стиля являются купола в форме луковки. Луковка представляет собой часть сферы, плавно переходящую и завершающуюся конусом. Купола новго- родских соборов и церквей иллюстрируют это. Для по- строения чертежа луковки древним зодчим достаточно было циркуля и линейки.
Комбинации геометрических тел мы наблюдаем и при рассмотрении башен Новгородского Кремля. К примеру, Спасская башня. В её основании можно увидеть прямой параллелепипед, переходящий в средней части в усечённый конус, на котором ещё один параллелепипед (почти куб). Завершается же она четырёхугольной пирамидой. Конечно, можно говорить о соответствии архитектурных форм указанным геометрическим только приближенно, отвлекаясь от мелких деталей. При более детальном рассмотрении и изучении деталей можно увидеть: круги – между окнами 2 и 3 ярусов; полукруги – арки окон; прямоугольники одного из рядов бойниц на фасаде башни. Таким образом, можно говорить о пространственных геометрических фигурах, которые служили основой сооружения в целом или отдельных его частей, а также плоских фигурах, которые обнаруживаются на фасадах зданий.
В математике существуют конкретные математические модели, соотношения и свойства, которые используются в архитектуре и определяют их эстетическое совершенство. Опираясь на многочисленную историческую документацию, нами выявлено, что еще в древности были открыты и использовались такие ключевые понятия математики, как общая мера архитектурного объекта (модуль), разнообразные геометрические формы, пропорции и законы симметрии, геометрические построения. Простые соотношения ширины и длины храма являлись обязательными качествами сооружения. Точно выдерживая исходный «модульный» размер построения, зодчий добивался определенных соотношений между длиной и шириной храма. Более того, в ряде случаев он добивался целочис- ленности и округленности данных измерения храма, что было не обязательным, а лишь желательным, так как упрощало необходимые расчеты. Наряду с соотношениями, определяемыми при помощи геометрических построений, имели значение простейшие отношения, например: 1:2; 2:3; 3:4; 4:5; 5:6 и т. д., а также золотое сечение. К.Н. Афанасьев использовал эти соотношения при геометри- ческом анализе храма св. Софии в Константинополе.
Нами же проведён анализ соразмерности башен новгородского Кремля, который показывает, что они четырёхугольные или круглые, высотой от 27,8 до 48,5 м, в плане по периметру от 33 до 51,6 м, площадью от 39,44 до 168 м2, имеющие 5-7 ярусов в форме квадратов, прямоугольников, восьмиугольников, кругов, трапеций. Определяя соотношения частей и целого (по высоте всей башни и её нижней части), пришли к выводу, что по выбранному основанию для расчётов только Митрополичья башня построена с использованием «золотого сечения», близки к нему ещё Владимирская и Фёдоровская. Отношения основных размеров башен мастерами, как видим, варьировались.
Анализируя сооружения Новгорода (башни, здания, церкви и соборы, памятники - всего 45) на наличие симметричности (приложение 4), видим, что у большинства из них (у 35) наблюдается симметрия, у шести - антисимметрия, у четырёх – диссимметрия. Схожие силуэты – 5 глав на Софии и 5 на Никольском храме – приводят обе части городского ансамбля не только к ритмической взаимосвязи, но и к явно выраженной симметрии относительно главной внутригородской магистрали – Волхова.
Использовались древними строителями и зодчими и другие математические факты. Например: диагонали прямоугольника равны, квадрат имеет наименьший периметр из всех прямоугольников, охватывающих площадь определенной величины; для любого треугольника всегда можно найти вписанную и описанную окружности; метод деления отрезка на любое число равных между собой отрезков, деление окружности на 6 и 24 равные части. При графическом определении основных размеров здания пользовались помощью пропорционального циркуля. При составлении плана постройки приходилось решать геометрическую задачу о разбиении многоугольника на части и использовать понятие масштаб, т.к. все размеры, а точнее периметры, всех реальных помещений уменьшаются в одно и то же число раз. Планы городов рисовали с помощью пропорции и масштаба. При проектировании внутренней планировки древние решали маленькую комбинаторную задачу – о размещении желаемых помещений на имеющейся площади. Таких комбинаций могло быть несколько. Из них нужно было выбрать самую целесообразную с точки зрения удобства.
Таким образом, исследование формы древнерусских сооружений Новгорода выявляет значительную осведомленность их зодчих в области прикладной математики. Создание архитектурной формы сооружений основывалось на приемах «геометрии построения» с использованием циркуля и линейки.
Издавна известно, что если при построении математической конструкции были соблюдены все правила математики, то она приобретает логическую устойчивость, композиционную целостность и завершенность. Прочность сооружения напрямую связана с его геометрической формой. Самыми прочными считаются пирамиды, их форма обеспечивает наибольшую устойчивость за счет большой площади основания и обеспечивает уменьшение массы по мере увеличения высоты над землей. В Новгороде шатры башен строились в виде пирамид, среди которых нами не обнаружено треугольных. При возведении зданий использовалась стоечно-балочная система. С точки зрения геометрии она представляет собой многогранник, который получится, если мысленно на два вертикально стоящих прямоугольных параллелепипеда поставить еще один прямоугольный параллелепипед. Для деревянных конструкций длина проёма не превосходит 16-кратной высоты балки, а для каменных 4-кратной.
В сооружениях нашего города используется и арочно-сводчатая конструкция, с появлением которой в архитектуру прямых линий и плоскостей вошли окружности, круги, сферы и круговые цилиндры. Наши наблюдения показывают использование зодчими циркульных, стрельчатых арок и полусферических куполов. Это означает, что граница арки представляла собой полуокружность, а купол – половину сферы. Стрельчатые арки с точки зрения геометрии являются более сложными. Рассмотрим один из способов построения её схематического изображения: она состоит из двух дуг окружности одного радиуса. Дальнейшее очевидно из рисунка. Над горизонтальной линией мы получили схематическое изображение стрельчатой арки. Конструктивной особенностью Софии, не встречающейся в других русских памятниках XI века, является наличие четверть-циркульных арок (аркбутанов) в южном притворе (Мартирьевской паперти).
Арочно-сводчатая конструкция позволяла возводить гигантские сооружения из камня. Всем была хороша, но имела один недостаток – слишком большая сила действо вала в основании арок (сводов) наклонно вбок (в отличие от стоечно-балочной конструкции, где сила тяжести действует вертикально). Эти боковые усилия, которые архитекторы называют боковым распором, требуют большой толщины стен, которая должна гасить эти усилия.
В книгах по архитектуре часто упоминается, что с давних времен и до наших дней эталоном прочности для архитекторов являлась скорлупа куриного яйца. Мы экспериментально вычислили его значение: отношение большего диаметра куриного яйца к толщине его скорлупы в среднем равно 130. Такое соотношение между диаметром пролета и его толщиной в сооружениях из камня было невозможно. Действительно, это отношение Пречистенской арки равно 2,8 (ширина проёма - 11,95 м, толщина - 4,3 м), а Воскресенской арки – 2,9 (ширина проёма - 12,5 м, толщина - 4,35 м).
Условия прочности, технология производства работ, сама архитектурная форма заставляли древних зодчих соблюдать определенные правила приготовления строительных растворов и пропорции при изготовлении кирпича. Данные размеров свидетельствуют о том, что изменение характера строительных конструкций влечёт за собой и изменение формы кирпича за счёт изменения его размеров. Кирпич был использован при кладке всех арок и арочных перемычек над оконными и дверными проемами, а также в кладке сводов Софийского Собора. Своды куполов выложены из одного кирпича. Во внутренних сводах употреблен камень. Встречаются участки декоративной фигурной кирпичной кладки, попадаются также лекальные кирпичи - трапециевидные и с полукруглым торцом. В конце XV в. кирпич стал широко использоваться в строительном деле в целом и в крепостном строительстве в частности, что позволяло новгородцам уже в XII веке в короткие сроки возводить храмы.
Таким образом, уже эти примеры говорят о математических особенностях в многообразии конструктивных решений при возведении сооружений в то время.

Заключение
Использование и анализ источников разных видов в их совокупности, выполнение практических заданий позволило выполнить цели и задачи, поставленные в исследовании и сделать выводы в конце разделов и прийти к основным выводам:
- новгородцы имели достаточные математические знания, и умело их использовали как при строительстве различных сооружений, так и города;
- строительство города планировалось и следовало «Закону градскому» и религиозным воззрениям, обосновывалось математически;
- пространственные геометрические фигуры служат основой сооружения в целом или отдельных его частей; плоские фигуры обнаруживаются на фасадах зданий, внутри помещений, в росписи их;
- правила определения основных размеров храмов были предельно просты, входили в компетенцию заказчика; наибольшее количество храмов построено в XII веке.
- математика, архитектура и градостроительство, являясь соответствующими проявлениями человеческой культуры, на протяжении веков активно влияли друг на друга.
В ходе исследования нами:
- установлена соразмерность сооружений, их симметричность и пропорциональность, выявлено наличие комбинаций геометрических тел в них;
- проанализированы объёмы храмового строительства X- XIII веков, планы и схемы города; обнаружено, что город под двойной защитой Креста;
- освоены способы измерения площадей, расчёта толщины опоры свода, геометрическое свойство квадрата, способ построения купола «луковка», арок и рассчитан их коэффициент прочности, проверено экспериментально численное значение «эталона прочности»;
- изготовлена мерная линейка девяти сажень – уменьшенная в 10 раз;
- подготовлена работа и компьютерная презентация по теме исследования.
Наше исследование охватывает вопросы математики, истории, краеведения, архитектуры, градостроительства. Статью хочется закончить словам академика Д.С. Лихачева: «Каждый наш исторический город, обладает индивидуальным лицом, красив по-своему. Но красоту нужно разгадывать. Она не дается прямо в руки».

Литература
1. Архитектура гражданских и промышленных зданий (история архитектуры),/ под ред. Н.Ф. Гуляницкого, В.М. Предтеченского, Л.А. Серка. - М.: Гос. изд-во литературы по строительству, архитектуре и строительным материалам, 1962.
2. Архитектурное наследие Великого Новгорода и Новгородской области, /составитель и научный редактор: М.И. Мильчик. – Спб.: Фонд содействия реставрации памятников истории и культуры «Спас», «Лики России», 2008.
3. Афанасьев К.Н. О математике в архитектуре/ В книге «В поисках гармонии», с. 3 – 28. М., 2001. Выпуск No 3, серия «Математические основы архитектурной композиции».
4. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики: Пособие для учащихся 5-6 кл. сред. шк. – М.: Просвящение, 1989. - 287 с.
5. Математика: Школьная энциклопедия. – М.: Большая Российская энциклопедия; Дрофа, 1997. - 527 с.
6. Пилецкий А.А. Система размеров и их отношений в древнерусской архитектуре // В сб. «Естественно-научные знания в Древней Руси». М., 1980. С. 63-109.
7. Энциклопедический словарь юного математика / сост. А.П. Савин. – М., Педагогика-Пресс, 1997. – 360 с.